Question

等比數列{a_n}中，已知對任意自然數n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于

 

．

Answer 1

分析：根據所給的對任意自然數n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，給n取1和2，得到數列的前兩項，得到等比數列{a_n2}是等比數列，應用等比數列的前n項和公式得到結果．

解答：解：∵當n=2時，a₁+a₂=3，
當n=1時，a₁=1，
∴a₂=2，
∴公比q=2，
∴等比數列{a_n}是首項是1，公比是2的等比數列，
∵a₁²=1，a₂²=4，
∴等比數列{a_n2}是首項是1，公比是4的等比數列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故答案為：

1

3

(4n-1)

點評：有的數列可以通過遞推關系式構造新數列，構造出一個我們較熟悉的數列，從而求出數列的通項公式．這類問題考查學生的靈活性，考查學生分析問題及運用知識解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現．