Question

求數列1,3a,5a²,7a³,…,(2n-1)a^n-1,…的前n項的和.

Answer 1

解：當a=1時，數列變為1，3，5，7，…，（2n-1）,

則S_n==n²;

當a≠1時，有

S_n=1+3a+5a²+7a³+…+(2n-1)a^n-1,            ①

aS_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+(2n-1)aⁿ.            ②

①-②得S_n-aS_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-(2n-1)aⁿ,

(1-a)S_n=1-(2n-1)aⁿ+2(a+a²+a³+a⁴+…+a^n-1)

=1-(2n-1)aⁿ+2·

=1-(2n-1)aⁿ+.

又1-a≠0,

∴S_n=.