Question

已知函數

(I)當時，討論函數的單調性：

(Ⅱ)若函數的圖像上存在不同兩點，，設線段的中點為，使得在點處的切線與直線平行或重合，則說函數是“中值平衡函數”，切線叫做函數的“中值平衡切線”.

試判斷函數是否是“中值平衡函數”？若是，判斷函數的“中值平衡切線”的條數；若不是，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(I) 當時,函數的遞增區間是,遞減區間是

當時，函數的遞增區間是和，遞減區間是

(Ⅱ) 函數不是“中值平衡函數”

【解析】

試題分析：（1）

當即時，，函數在定義域上是增函數；

當即時,由得到或，

所以：當時，函數的遞增區間是和，遞減區間是；

當即時，由得到：，

所以:當時,函數的遞增區間是,遞減區間是；       

（2）若函數是“中值平衡函數”，則存在（）使得

即，

即，（*）

當時，（*）對任意的都成立，所以函數是“中值平衡函數”，且函數的“中值平衡切線”有無數條；

當時，設，則方程在區間上有解，

記函數，則，

所以當時，，即方程在區間上無解，

即函數不是“中值平衡函數”.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性．

點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．