Question

已知函數f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導函數f′(x)＝－2x＋7，數列{an}的前n項和為Sn，點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上，求數列{an}的通項公式及Sn的最大值．

 

Answer 1

an＝－2n＋8(n∈N*)，當n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12

【解析】由題意可知：∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝－2x＋7對應相等可得a＝－1，b＝7，

∴可得f(x)＝－x2＋7x.因為點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖象上，所以有Sn＝－n2＋7n.

當n＝1時，a1＝S1＝6；

當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，a1＝6適合上式，

∴an＝－2n＋8(n∈N*)．

令an＝－2n＋8≥0得n≤4，當n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12.

綜上，an＝－2n＋8(n∈N*)，當n＝3或n＝4時，Sn取得最大值12.