Question

（本小題滿分14分）
若函數對任意的實數，，均有，則稱函數是區間上的“平緩函數”.  
(1) 判斷和是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；
(2) 若數列對所有的正整數都有 ，設,
求證： .

Answer 1

(1)不是，理由見解析   (2)見解析

（本小題主要考查函數、絕對值不等式等基礎知識，考查函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識）
（1）解：是R上的“平緩函數”，但不是區間R的“平緩函數”；
設，則,則是實數集R上的增函數，
不妨設，則，即，      
則.   ①                           …………… 1分
又也是R上的增函數，則，
即，      ②             ………… 2分
由①、②得   .            
因此,，對都成立.           ……… 3分
當時，同理有成立
又當時，不等式，
故對任意的實數，R,均有.
因此 是R上的“平緩函數”.         ………… 5分
由于                ………… 6分
取，，則，     ………… 7分
因此， 不是區間R的“平緩函數”.             ………… 8分
（2）證明:由（1）得：是R上的“平緩函數”，
則， 所以 .    …………… 9分
而，
∴ .           …………… 10分
∵,……… 11分
∴.           …………… 12分
∴
                ………… 13分
.                ………… 14分