Question

如圖所示，將一塊直角三角形板ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P(

1

2

，

1

4

)是三角板內(nèi)一點，現(xiàn)因三角板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN．問：
（1）求直線MN的方程
（2）求點M，N的坐標(biāo)
（3）應(yīng)如何確定直線MN的斜率，可使鋸成的△AMN的面積最大？

Answer 1

分析：（1）依題意得直線MN過點P(

1

2

，

1

4

)且其斜率存在，由直線的點斜式方程可寫出答案；
（2）根據(jù)題意，M為OA與MN的交點，N為AB與MN的交點，易得OA、OB的方程，由（1）中所得的MN的方程，結(jié)合兩直線交點的求法，聯(lián)立直線的方程，易得M、N的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)三角形面積公式寫出S_△AMN關(guān)于k的關(guān)系式，設(shè)t=1-k，則f(t)=4t+

1

t

，轉(zhuǎn)化為求f（t）的最大值問題，用作差法判斷出f（t）在[

1

2

，

3

2

]是增函數(shù)，即t=

3

2

時，f（t）取得最大值，將t=

3

2

代入f（t）中，可得答案．

解答：解：（1）依題意得直線MN過點P(

1

2

，

1

4

)且其斜率存在，則MN方程為：y-

1

4

=k(x-

1

2

)．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直線OA方程為：y=x 直線AB方程為：x=1，
由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) y=x

，可得M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)，
且

2k-1

4(k-1)

≥0，可得k≥1或k≤

1

2

，
又由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) x=1

得N(1，

2k+1

4

)且

2k+1

4

≥0，
可得k≤-

1

2

，
∴-

1

2

≤k≤

1

2

；
故M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)，N(1，

2k+1

4

)
（3）S_△AMN=

1

2

•|AN|•h=

1

2

[1-

2k-1

4

][1-

2k-1

4(k-1)

]=

1

32

[4(1-k)+

1

1-k

+4]．
設(shè)t=1-k∈[

1

2

，

3

2

]，f(t)=4t+

1

t

．
當(dāng)

1

2

≤t1＜t2≤

3

2

時，f（t₁）-f（t₂）=(4t1+

1

t1

)-(4t2+

1

t2

)=

(t1-t2)(4t1t2-1)

t1t2

．
∵

1

2

≤t1＜t2≤

3

2

，∴t₁t₂＞0，t₁-t₂＜0，4t₁t₂-1＞0，
∴f（t₁）-f（t₂）＜0，即f（t₁）＜f（t₂）．
∴f（t）在[

1

2

，

3

2

]是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=

3

2

時，f(t)=

20

3

，即當(dāng)1-k=

3

2

時即k=-

1

2

時，
S_△max=

1

32

[

20

3

+4]=

1

3

．

點評：本題考查直線方程的運用，解（3）題時，注意先轉(zhuǎn)化問題，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，通過求函數(shù)的最大值的方法，求出答案．