Question

已知二項式(

x

2

-

1

3 x

)n(n∈N*)的展開式中第3項的系數與第1項的系數的比是144：1．
（Ⅰ）求展開式中所有的有理項；
（Ⅱ）求展開式中二項式系數最大的項以及系數絕對值最大的項．

Answer 1

（Ⅰ）二項式(

x

2

-

1

3 x

)n的通項公式為：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)n-r•

C

rn

•xn-

4r

3

（0≤r≤n，r∈N^*），
∵第3項的系數與第1項的系數的比是144：1，
∴

(-1)2( 1 2 )n-2 C 2n

(-1)0( 1 2 )n-0 C 0n

=

144

1

，即

C

2n

=36，解得n=9或n=-8（舍去）．
從而通項公式為：T_r+1=（-1）^r•(

1

2

)9-r•

C

r9

•x9-

4r

3

（0≤r≤9，r∈N^*），
當r=0，3，6，9時，所有的有理項為T₁=x⁹；T₄=-

21

16

x⁵；T₇=21x；T₁₀=-

1

x3

．
（Ⅱ）∵n=9，展開式共有10項，
∴二項式系數最大的項為T₅=

63

16

x

11

3

和T₇=21x．
展開式中第r-1項，第r項，第r+1項的系數絕對值分別為：(

1

2

)10-r

C

r-19

，(

1

2

)9-r

C

r9

，(

1

2

)8-r

C

r+19

．
若第r項的系數的絕對值最大，則必須滿足：

( 1 2 )9-r C r9 ≥( 1 2 )10-r C r-19 ( 1 2 )9-r C r9 ≥( 1 2 )8-r C r+19

，即

2 C r9 ≥ C r-19 C r9 ≥2 C r+19

，
解得：

17

3

≤r≤

20

3

，又r∈N，所以r=6．
∴系數絕對值最大的項為T₇=21x．