Question

已知點A為雙曲線x²-y²=1的左頂點，點B和點C在雙曲線的右支上，△ABC是等邊三角形，則△ABC的面積是

3

3

．

Answer 1

分析：先求出雙曲線x²-y²=1的左頂點為A（-1，0），根據雙曲線的對稱性，設出B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）的坐標，根據，△ABC是等邊三角形得：（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，求出x₁和y₁的值，由此得出三個頂點的坐標，從而可以算出面積．

解答：解：雙曲線x²-y²=1的左頂點為A（-1，0），根據雙曲線的對稱性，
可設B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）．
由△ABC是等邊三角形⇒AB=BC，得：
（x₁+1）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，
又x₁²-y₁²=1，
∴x₁²-x₁-2=0，∴x₁=-1或x₁=2
右支的特點是x≥0，
所以x₁=2，從而y₁=±

3

，
由此A（-1，0），B（2，

3

），C（2，-

3

），
可以算出面積：S=

3

4

AB 2=

3

4

×[3²+（

3

）²]=3

3

．
故答案為：3

3

．

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．