Question

對于函數f（x）與g（x）和區間D，如果存在唯一x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，則稱函數f（x）與g（x）在區間D上的“友好函數”．現給出兩個函數：則函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）上為“友好函數”的是

②

．（填正確的序號）
①f（x）=x²，g（x）=2x-4； 
②f（x）=2

x

，g（x）=x+3；
③f（x）=e^-x，g（x）=-

1

x

；
④f（x）=lnx，g（x）=x+1．

Answer 1

分析：對照新定義，利用配方法、導數法可確定函數的值域，由此，就可以得出結論．

解答：解：對于①，f（x）-g（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∴不存在x₀∈（0，+∞），使|f（x₀）-g（x₀）|≤2，∴①不滿足
對于②，g（x）-f（x）=x-2

x

+3=(

x

-1)2+2≥2，當且僅當x=1時，|g（x）-f（x）|≤2．∴②滿足；
對于③，h（x）=f（x）-g（x）=e-x+

1

x

，h′（x）=-e-x-

1

x2

＜0，∴函數h（x）在（0，+∞）上單調減，
∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀不唯一，∴③不滿足；
對于④，h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx-1（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時，函數取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=0，∴g（x）-f（x）≥0，
使|f（x₀）-g（x₀）|≤2的x₀不唯一，∴④不滿足；
故答案為：②

點評：本題重點考查對新定義的理解與運用，考查配方法、導數法求函數的值域，有一定的綜合性．