Question

已知函數(shù)f

x

=ln|x|

x≠0

，函數(shù)g

x

=

1

f′ x

+af′

x

x≠0

（I）當(dāng)x≠0時(shí)，求函數(shù)y=g

x

的表達(dá)式；
（Ⅱ）若a＞0，且函數(shù)y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中所求的a值，若函數(shù)h(x)=

1

3

x3-

b+1

2a

x2+bx，x∈R，恰有三個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵f

x

=ln|x|，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f

x

=lnx； 當(dāng)x＜0時(shí)，f

x

=ln

-x

∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′

x

=

1

x

； 當(dāng)x＜0時(shí)，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

．
∴當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)y=g

x

=x+

a

x

；
（Ⅱ）∵由（1）知當(dāng)x＞0時(shí)，g

x

=x+

a

x

，
∴當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，g

x

≥2

a

當(dāng)且僅當(dāng)x=

a

時(shí)取等號(hào)．
由2

a

=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜b，時(shí)h′（x）＜0，當(dāng)x＞b時(shí)，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，則當(dāng)0＜x＜b時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)b＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）有三個(gè)零點(diǎn)的充要條件為

f(1)＞0 f(b)＜0

或

f(1)＜0 f(b)＞0

解得b＜

1

3

或b＞3．
綜合：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)
另h(x)=

1

3

x3-

b+1

2

x2+bx=

1

6

x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有兩個(gè)不等實(shí)根，且不含零根．
由

9(b+1)2-48b＞0 b≠0

，解得：b∈(-∞，0)∪(0，

1

3

)∪(3，+∞)．