Question

已知函數，其中.
(1)是否存在實數，使得函數在上單調遞增？若存在，求出的值或取值范圍；否則，請說明理由．
(2)若a<0，且函數y＝f(x)的極小值為，求函數的極大值。

Answer 1

(1)存在a＝；（2）.

試題分析：（1）利用導數求得函數單調遞增滿足的條件；（2）先求出函數的兩個極值點，根據a<0確定極大值與極小值點，由函數的極小值求得，再求出極大值.
(1)∵，
∴．
由可得≥0.即在x∈R時恒成立．
∴Δ＝(a＋2)²－4(－2a²＋4a)≤0，即(3a－2)²≤0，即a＝，此時，f′(x)＝(x＋)²e^x≥0，函數y＝f(x)在R上單調遞增．(2)由f′(x)＝0可得e^x[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]＝0，解之得x₁＝－2a，x₂＝a－2.
當a<0時，－2a>a－2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

 
由條件可知，f(－2a)＝－e，即3a·e^－2a＝－e，可得a＝－.
此時，f(x)＝(x²－x－2)e^x，極大值為f(a－2)＝f(－)＝.