Question

已知函數() =，g ()=+。
（1）求函數h ()=()-g ()的零點個數，并說明理由；
（2）設數列滿足，，證明：存在常數M,使得對于任意的，都有≤ .

Answer 1

（1）兩個零點，理由見解析     （2）見解析

（1）由知，，而，且，則為的一個零點，且在內有零點，因此至少有兩個零點
解法1：，記，則。
當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。又因為，則在內有零點，所以在內有且只有一個零點。記此零點為，則當時，；當時，；
所以，
當時，單調遞減，而，則在內無零點；
當時，單調遞增，則在內至多只有一個零點；
從而在內至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。
解法2：，記，則。
當時，，因此在上單調遞增，則在內至多只有一個零點。因此在內也至多只有一個零點，
綜上所述，有且只有兩個零點。
（2）記的正零點為，即。
（1）當時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：
①當時，顯然成立；
②假設當時，有成立，則當時，由
知，，因此，當時，成立。
故對任意的，成立。
（2）當時，由（1）知，在上單調遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數學歸納法證明：
①當時，顯然成立；
②假設當時，有成立，則當時，由
知，，因此，當時，成立。
故對任意的，成立。
綜上所述，存在常數，使得對于任意的，都有.