Question

已知函數f（x）=lnx－ax（a>0）．
（I）當a=2時，求f（x）的單調區間與極值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范圍．

Answer 1

（I）單調遞增區間為，遞減區間為；極大值為，無極小值；
（Ⅱ）

試題分析：（I）先求導再討論其單調性，根據單調性可求其極值。（Ⅱ）先求導再討論其單調性，根據單調性可求其最值。對于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，即。
試題解析：（I）當時，，所以，
當時，，當時，，
所以函數的單調遞增區間為，遞減區間為。
所以當時函數取得極大值為，無極小值。
（Ⅱ）因為又，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減。
所以當時，函數取得最大值，
因為對于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，所以，即，可得，
所以a的取值范圍為。