Question

前不久央視記者就“你幸福嗎？”采訪了走在接頭及工作崗位上的部分人員．人們常說的“幸福感指數”就是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度，常用區間[0，10]內的一個數來表示，該數越接近10表示滿意度越高．為了解某地區居民的幸福感，隨機對該地區的男、女居民各500人進行了調查，調查數據如表所示：

幸福感指數	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人數	10	20	220	125	125
女居民人數	10	10	180	175	125

根據表格，解答下面的問題：
（1）補全頻率分布直方圖，并根據頻率分布直方圖估算該地區居民幸福感指數的平均值；
（2）如果居民幸福感指數不小于6，則認為其幸福．據此，又在該地區隨機抽取3對夫妻進行調查，用X表示他們之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的對數，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

（1）幸福感指數在[4，6），[6，8）內
的頻數分別為220+180=400和125+175=300，
因為總人數為1000，
所以，相應的頻率÷組距為：
400÷1000÷2=0.2，
300÷1000÷2=0.15，
據此可補全頻率分布直方圖如右圖．…3分
所求的平均值為：
0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46．…5分
（2）男居民幸福的概率為

125+125

500

=05．
女居民幸福的概率為

175+125

500

=0.6
故一對夫妻都幸福的概率為0.5×0.6=0.3…7分
因此X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.3）
于是P（X=K）=C

K3

0.3^K（1-0.3）^3-K（K=0，1，2，3）…9分
∴P（X=0）=

C

03

0.3⁰（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=

C

13

0.3（1-0.3）²=0.441，
P（X=2）=

C

23

0.3²（1-0.3）=0.188，
P（X=3）=

C

33

0.3³（1-0.3）⁰=0.027．
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

E（X）=np=0.3×3=0.9 …12分
（或E（X）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9）…12分