Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）無零點，則g（x）＞0對?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一個零點，則g（x）必有兩個零點；
③若方程f（x）=0有兩個不等實根，則方程g（x）=0不可能無解
其中真命題的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：本題利用特殊法處理，根據已知條件，適當取特殊函數一一驗證：對于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，則f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，無零點；
②如下圖，若f（x）（其圖象為黑色）有且只有一個零點，則g（x）（其圖象為紅色）沒有兩個零點；
③如下圖，若方程f（x）=0有兩個不等實根（其圖象為黑色），則方程g（x）=0（其圖象為紅色）可能無解．

解答：解：已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
對于①，若取a=-1，b=

1

2

，c=-

1

2

，則f（x）=-x²+

1

2

x-

1

2

，無零點，如圖，但g（x）＜0對?x∈R成立；故①錯；
②如下圖，若f（x）（其圖象為黑色）有且只有一個零點，則g（x）（其圖象為紅色）沒有兩個零點；故錯；
③如下圖，若方程f（x）=0有兩個不等實根（其圖象為黑色），則方程g（x）=0（其圖象為紅色）可能無解，故③錯．
其中真命題的個數是0．
故選A．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數的零點等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．