Question

設函數f(x)=+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數列為{x_n}.
(1)求數列{x_n}的通項公式.
(2)設{x_n}的前n項和為S_n,求sinS_n.

Answer 1

(1) x_n=2nπ-(n∈N^*)    (2) sinS_n=

【思路點撥】(1)根據導數,x_n的左側導函數小于0,x_n的右側導函數大于0,求出極小值點.(2)由(1)求出{x_n}的前n項和為S_n,再代入sinS_n求解.
解：(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2kπ±(k∈Z),
f'(x)>0⇒2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
f'(x)<0⇒2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),
當x=2kπ-(k∈Z)時,f(x)取極小值,
x_n=2nπ-(n∈N^*).
(2)由(1)得:x_n=2nπ-,
S_n=x₁+x₂+x₃+…+x_n
=2π(1+2+3+…+n)-=n(n+1)π-.
當n=3k(k∈N^*)時,sinS_n=sin(-2kπ)=0,
當n=3k-1(k∈N^*)時,sinS_n=sin=,
當n=3k-2(k∈N^*)時,sinS_n=sin=-.
所以sinS_n=