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如圖1，在直角梯形中，，，，，分別是的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使平面平面(如圖2)，且所得到的四棱錐的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積總和為8.

⑴求點(diǎn)到平面的距離；

⑵求二面角的大小的夾角的余弦值；

⑶在線段上確定一點(diǎn)，使平面，并給出證明過(guò)程.

 

 

【答案】

 

（1）二面角的大小為

（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

【解析】解：（1）由幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積總和為8可得，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，分別是的中點(diǎn)，，∴四點(diǎn)共面.

作于，易得：平面且.

又平面，故點(diǎn)到平面的距離即為所求.

（2）就是二面角的平面角

在中，， 

，即二面角的大小為

解法二：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面

的一個(gè)法向量為

則

取，又平面的法向量為（1，0，0）

（3）設(shè)則

又平面點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值；

(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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如圖1，在直角梯形中，，，，

. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．

(I)求證：平面平面；

(II)求直線與平面所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

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如圖1， 在直角梯形中， ， ，，為線段的中點(diǎn). 將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證:平面；

（2）求二面角的余弦值.   

 

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如圖1，在直角梯形中，，，且．

現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

  

圖                                    圖

 

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如圖1，在直角梯形中, ,
把△沿對(duì)角線折起后如圖2所示(點(diǎn)記為點(diǎn)), 點(diǎn)在平面上的正投影 落在線段上, 連接.
(1) 求直線與平面所成的角的大小;
(2)   求二面角的大小的余弦值.

圖1                            圖2

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