Question

已知函數f（x）=lnx+a（x²-x）
（1）若a=-1，求證f（x）有且僅有一個零點；
（2）若對于x∈[1，2]，函數f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角都不大于

π

4

，求實數a的取值范圍；
（3）若f（x）存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：f（x）=lnx-x²+x（x＞0），f′(x)=

1

x

-2x+1=

-(x-1)(2x+1)

x

令f'（x）=0，得x=1，
令f'（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f'（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴f（x）_最大值=f（1）=0，
∴f（x）有且僅有一個零點，該零點即為1．---------（4分）
（2）f′(x)=

2ax2-ax+1

x

，由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立．---------（6分）
由f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，可得a≤(

x-1

2x2-x

)min=0
由f'（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，可得a≥(

-1

2x2-x

)max=-

1

6

∴-

1

6

≤a≤0-------------------（10分）
（3）f（x）存在單調遞減區間，等價于f′(x)=

2ax2-ax+1

x

＜0在（0，+∞）上有解，即2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解
記g（x）=2ax²-ax+1，x∈（0，+∞）
當a=0時，g（x）=1，不滿足條件；
當a＜0時，g（x）為開口向下的二次函數，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上恒有解；
當a＞0時，g（x）為開口向上的二次函數，對稱軸為x=

1

4

，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，只需g（x）_min＞0，即g(

1

4

)＞0，解得a＞8
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0）∪（8，+∞）