Question

設函數f（x）=sin（2π+?）（-π＜?＜0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）證明直線5x-2y+c=0與函數y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

．就是x=

π

8

時函數取得最值，結合?的范圍，求出?的值；
（Ⅱ）利用正弦函數的單調增區間，直接求函數y=f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）利用導數求出導函數的值域，從而證明直線5x-2y+c=0與函數y=f（x）的圖象不相切．

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

8

是函數y=f（x）的圖象的對稱軸，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1，∴

π

4

+π=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵-π＜?＜0，?=-

3π

4

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知?=-

3π

4

，因此y=sin(2x-

3π

4

)．
由題意得2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函數y=sin(2x-

3π

4

)的單調增區間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（Ⅲ）證明：∵|y'|=|(sin(2x-

3π

4

))′|=|2cos(2x-

3π

4

)|≤2，
所以曲線y=f（x）的切線斜率取值范圍為[-2，2]，
而直線5x-2y+c=0的斜率為

5

2

＞2，
所以直線5x-2y+c=0與函數y=sin(2x-

3π

4

)的圖象不相切．

點評：本小題主要考查三角函數性質及圖象的基本知識，考查推理和運算能力．是綜合題，常考題型．