Question

已知函數f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0且a≠1．
（1）分別判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性；
（2）比較f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3的大小，由此歸納出一個更一般的結論，并證明；
（3）比較

f(1)

1

與

f(2)

2

、

f(2)

2

與

f(3)

3

的大小，由此歸納出一個更一般的結論，并證明．

Answer 1

分析：（1）先求導，再判導數的符號．
（2）直接計算f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3，進行比較．比較大小可用做差比較法．
歸納一般的結論，構造函數利用單調性進行證明．
（3）利用基本不等式和做差比較法比較大小，歸納結論，構造函數進行證明．

解答：解：（1）f/(x)=

a

a2-1

(ax+a-x)lna，
若0＜a＜1，則

a

a2-1

＜0，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，則

a

a2-1

＞0，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的單調遞增．
（2）直接計算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根據基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因為(a2+a-2-2)-(a+a-1-2)=[(a+a-1)2-(

a

-

a-1

)2]=(

a

-

a-1

)2(a+a-1+1)=

1

a

(a-1)2(a+a-1+1)＞0，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假設?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
記g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]

a

a2-1

[(ax+1-a-x-1)-(ax-a-x)]-1=

ax+1+a-x

a+1

-1，g/(x)=

ax+1-a-x

a+1

lna．與（1）類似地討論知，對?x＞0和?a＞0且a≠1都有g^/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的單調遞增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3）

f(1)

1

=1，

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)，

f(3)

3

=

a2+1+a-2

3

，
根據基本不等式

f(2)

2

=

1

2

(a+a-1)＞1=

f(1)

1

，

f(3)

3

-

f(2)

2

＞

f(3)

3

-[

f(2)

2

]2=

(a-a-1)2

12

＞0，
所以

f(3)

3

＞

f(2)

2

＞

f(1)

1

．
假設?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．
記g(x)=

f(x)

x

，x＞0，g/(x)=

xf/(x)-f(x)

x2

a

x2

×

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
設h(x)=

x(ax+a-x)lna-(ax-a-x)

a2-1

，
則h（0）=0且h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

，
類似（1）的討論知h/(x)=

x(ax-a-x)ln2a

a2-1

＞0，
從而h（x）＞h（0）=0，g^/（x）＞0，g（x）在R⁺上單調增加，
所以?x＞0，

f(x+1)

x+1

＞

f(x)

x

．

點評：本題考查比較大小、歸納推理、函數單調性的證明及應用，綜合性強，難度較大．