Question

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，a∈V，記a的象為f（a）．若映射f：V→V滿足：對所有a、b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換．現有下列命題：
①設f是平面M上的線性變換，a、b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；
③對a∈V，設f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；
④設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命題是______（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

①：令λ=μ=1，則f（

a

+

b

）=f（

a

）+f（

b

）故①是真命題，
同理，④：令λ=k，μ=0，則f（k

a

）=kf（

a

）故④是真命題，
③：∵f（

a

）=-

a

，則有f（

b

）=-

b

，
f（λ

a

+μ

b

）=-（λ

a

+μ

b

）=λ•（-

a

）+μ•（-

b

）=λf

a

）+μf（

b

）是線性變換，
故③是真命題，
②：由f（

a

）=

a

+

e

，則有f（

b

）=

b

+

e

，
f（λ

a

+μ

b

）=（λ

a

+μ

b

）+

e

=λ•（

a

+

e

）+μ•（

b

+

e

）-

e

=λf（

a

）+μf（

b

）-

e

∵

e

是單位向量，

e

≠

0

，故②是假命題
故答案為①③④．