Question

函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

，則下列說法中正確的是

②④

（只寫序號）
①函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）有3個零點；
②若x＞0，時，函數(shù)f（x）≤

k

x

恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞）；
③函數(shù)f（x）的極大值中一定存在最小值；
④f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對于一切x∈[0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：在同一坐標系中畫出函數(shù)y=f（x）與y=ln（x+1）的圖象，判斷函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，進而可判斷①；分析函數(shù)f（x）的極大值點坐標中，橫縱坐標積最大值，進而可判斷②；根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象，可判斷函數(shù)f（x）的極大值無最小值，進而可判斷③；利用數(shù)學歸納法，可證得f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對于一切x∈[0，+∞）恒成立，進而判斷④．

解答：解：f（x）=

1-|x-1|，x∈[0，2] 1 2 (x-2)，x∈[2，+∞)

的圖象如下圖所示：

∵函數(shù)y=f（x）與y=ln（x+1）的圖象只有兩個公共點，故函數(shù)y=f（x）-ln（x+1）有2個零點，故①錯誤；

函數(shù)f（x）的極大值點坐標中，橫縱坐標積最大的為（3，

1

2

）點，
若函數(shù)f（x）≤

k

x

恒成立，則k≥3×

1

2

=

3

2

，故實數(shù)k的取值范圍是[

3

2

，+∞），故②正確；
函數(shù)f（x）的極大值中一定不存在最小值，故③錯誤；
當k=0時，f（x）=f（x）成立．
假設k=n時，f（x）=2ⁿf（x+2n），（n∈N）成立．
則k=n+1時，
2ⁿ⁺¹f[x+2（n+1）]=2ⁿ⁺¹f（x+2n+2）=2ⁿ⁺¹•

1

2

f（x+2n）=2ⁿf（x+2n）=f（x）
即此時f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N）仍成立，
故f（x）=2^kf（x+2k），（k∈N），對于一切x∈[0，+∞）恒成立，故④正確；
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的零點，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的極值，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度較大，屬于難題．