Question

已知橢圓的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設不與坐標軸平行的直線與橢圓交于兩點，坐標原點到直線的距離為，求面積的最大值.

 

Answer 1

(1)橢圓的方程為；(2)面積的最大值為．

【解析】

試題分析：(1) 求橢圓的方程，可利用待定系數法求出的值即可，依題意，可得：，從而可得的值，即得橢圓的方程；(2)由于直線l是任意的，故可設其方程為.根據坐標原點到直線的距離為，可得與的關系式，從而將雙參數問題變為單參數問題.將作為底邊，則的高為常數，所以要使的面積最大，就只需邊最大.將用或表示出來便可求得的最大值，從而求得的面積的最大值.

試題解析：（1）依題意，可得：

所以，橢圓；

（2）坐標原點到直線的距離為，所以，

聯立可得：

所以，

由題意，得：，令，所以

，

所以，．

考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線；點到直線的距離公式，基本不等式；弦長及三角形的面積．