Question

對于平面直角坐標系內的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||；
③在△ABC中，若∠A=90°，則||AB||²+||AC||²=||BC||²．
其中錯誤的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：弄清新命題的運算規則，設出各點坐標，代入關系式計算，根據計算結果進行判斷．

解答：解：對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之間，y₀在y₁、y₂之間，則|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正確．
對于②在△ABC中，|AC|+|CB|=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|≥|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|，故②不一定成立
對于③平方后，是幾何距離而非題目定義的距離，明顯不成立；
∴錯誤的個數為2個，
故選C．

點評：本題考查新定義的問題，對于此類型的題目需要認真分析題目的定義再求解，切記不可脫離題目要求．屬于中檔題．