Question

（2012•山西模擬）已知函數f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，若f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，則實數t的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-2]

B．（-∞，-1]

C．[-2，-1]

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）=-mx³+nx²，知f′（x）=-3mx²+2nx，故f′（-1）=-3m-2n，函數f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，知

-3m-2n=-3 m+n=2

，解得m=-1，n=3，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，由函數f（x）在[-2，0]上單調遞減，能求出t的范圍．

解答：解：∵f（x）=-mx³+nx²，
∴f′（x）=-3mx²+2nx，
∴f′（-1）=-3m-2n，
∵函數f（x）=-mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線3x+y=0平行，
∴

-3m-2n=-3 m+n=2

，解得m=-1，n=3，
∴f′（x）=3x²+6x，令f′（x）=3x²+6x≤0，解得-2≤x≤0，
∴函數f（x）在[-2，0]上單調遞減，
∵f（x）在區間[t，t+1]上單調遞減，
∴

t≥-2 t+1≤0

，解得-2≤t≤-1．
故選C．

點評：本題考查利用導數求曲線上某點處的切線方程的應用，具體涉及到導數的幾何意義、直線平行的條件、利用導數判斷函數的單調等知識點，解題時要認真審題，仔細解答．