Question

已知a＞0，且a≠1，數列{a_n}的前n項和為S_n，它滿足條件

an-1

Sn

=1-

1

a

．數列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求數列{b_n}的前n項和T_n；
（2）若對一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，a₁=a，

an-1

Sn

=1-

1

a

轉化為：Sn=

a

a-1

(an-1) ①，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1) ②，①-②，得

an

an-1

=a，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=a_n•lga_n，知b_n=naⁿlga，當對一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，由此進行分類討論，能夠得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知，當n=1時，a₁=a，
當n≥2時，Sn=

a

a-1

(an-1) ①，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1) ②，
①-②，得

an

an-1

=a，
∴數列{a_n}是等比數列，
∴a_n=aⁿ（n∈N⁺）．
（2）∵b_n=a_n•lga_n，
∴b_n=naⁿlga，
當對一切n∈N₊，都有b_n＜b_n-1，
即有naⁿlga＜（n+1）a^n-1lga，
當lga＞0，即a＞1時，a＞

n

n+1

對一切n∈N₊都成立，∴a＞1．
當lga＜0，即0時，有 a＜

n

n+1

對一切n∈N₊都成立，∴0＜a＜

1

2

．
綜上所述a＞1或 0＜a＜

1

2

．

點評：本題考查數列的通項公式和數列與不等式的綜合運用，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．