Question

已知中心在原點、焦點在x軸上橢圓，離心率為

6

3

，且過點A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Π）如圖，B為橢圓右頂點，橢圓上點C與A關于原點對稱，過點A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實數λ，使得

PQ

=λ

BC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把橢圓方程設出來，再利用離心率為

6

3

，且過點A（1，1）以及a²=b²+c²求出對應a，b，c的值即可．
（Π）先求出直線BC的斜率，再利用條件|AP'|=|AQ'|，知道直線AP的斜率k與AQ的斜率互為相反數，把直線AP的方程設出來，于橢圓方程聯立，求出點P的坐標，同理求出點Q的坐標，只要直線PQ的斜率與直線BC的斜率相等即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．離心率為

6

3

，

c

a

=

6

3

?

c2

a2

=

2

3

①
∵點A（1，1）在橢圓上，∴

1

a2

+

1

b2

=1②
又a²=b²+c²③
解得

a2=4 b2= 4 3 c2= 8 3

故所求橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1
（Ⅱ）由A（1，1）得C（-1，1）
則k_BC=

0-(-1)

2-(-1)

=

1

3

易知AP的斜率k必存在，設AP；y=k（x-1）+1，則AQ：y=-k（x-1）+1，
由

x2 4 + 3y2 4 =1 y=k(x-1)+1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
由A（1，1）得x=1是方程（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0的一個根
由韋達定理得：x_p=x_p•1=

3k2-6k-1

1+3k2

以-k代k得x_Q=

3k2+6k-1

1+3k2

故k_PQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

1

3

故BC∥PQ
即存在實數λ，使得

PQ

=λ

.

BC

．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．