Question

已知f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求函數的單調區間；
（2）若x∈[1，3]時，f（x）＞1-4c²恒成立，求實數C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，根據函數f（x）在x=2取得極值，說明導函數在x=2時值為0，
再根據其圖象在x=1處的切線斜率為-3，列出方程組即可求出a、b的值，進而可以求出函數的單調區間；
（2）可以求出函數在閉區間∈[1，3]上的最小值，這個最小值要大于1-4c²，解不等式可以得出實數c的取值范圍．

解答：解：（1）由題意：f′（x）=3x²+6ax+3b 直線6x+2y+5=0的斜率為-3；
由已知

f′(1)=3+6a+3b=-3 f′(2)=12+12a+3b=0

 所以

a=-1 b=0

-----------------（3分）
所以由f′（x）=3x²-6x＞0得心x＜0或x＞2；
所以當x∈（0，2）時，函數單調遞減；
當x∈（-∞，0），（2，+∞）時，函數單調遞增．-----------------（6分）
（2）由（1）知，函數在x∈（1，2）時單調遞減，在x∈（2，3）時單調遞增；
所以函數在區間[1，3]有最小值f（2）=c-4要使x∈[1，3]，f（x）＞1-4c²恒成立
只需1-4c²＜c-4恒成立，所以c＜-

5

4

或c＞1．
故c的取值范圍是{c|c＜-

5

4

或c＞1}-----------------（12分）

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，以及利用導數解決函數在閉區間上的最值問題和函數恒成立問題，綜合性較強，屬于中檔題．