Question

已知函數．
（1）求的單調區間；
（2）設，若對任意，總存在，使得，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）當時，的單調增區間為.當時，函數的單調遞增區間為，單調遞區間為     （2）

（1）對函數求導，令導函數大于（小于）0，得函數的增（減）區間，注意函數的定義域和的討論；（2）要使任意，總存在，使得，只需，的最大值易求得是1，結合（1）得函數最大值為，解不等式得范圍
（1）………………2分
當時，由于，故，故，
所以，的單調遞增區間為……………3分
當時，由，得.在區間上，，在區間上所以，函數的單調遞增區為，單調遞減區間為……5分
所以，當時，的單調增區間為.當時，函數的單調遞增區間為，單調遞區間為
（2）由已知，轉化為.由已知可知……………8分
由（1）知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
（或者舉出反例：存在，故不符合題意）…………………9分
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，
所以，解得