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設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上.設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）試判斷圓與軸的位置關(guān)系；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（1）   （2）見解析    （3）存在

解析試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點(diǎn)位置，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到FA的中點(diǎn)坐標(biāo)帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關(guān)系，可以用k來替代m，得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線準(zhǔn)線與直線的方程可得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得到PQ中點(diǎn)坐標(biāo)，通過討論k的取值范圍得到中點(diǎn)到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關(guān)系.
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(biāo)(用k表示)，根據(jù)拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則M點(diǎn)需滿足，即向量內(nèi)積為0，即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)，M點(diǎn)的坐標(biāo)如果為常數(shù)(不含k)，即存在這樣的定點(diǎn)，如若不然，則不存在.
試題解析：
解：（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得，解得。                                2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為        3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                 4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為
圓心到軸距離，
 
∵
                  8分
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，圓與軸相切；
當(dāng)時(shí)，，圓與軸相交；        9分
(或，以線段為直徑圓的方程為:
令得 　
∴當(dāng)時(shí)，，圓與軸相切；
當(dāng)時(shí)，，圓與軸相交；        9分
（3）方法一：假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若A是PB的中點(diǎn),求直線m的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓+=1(a>b>0),點(diǎn)P（a,a）在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我們把離心率為e＝的雙曲線(a>0，b>0)稱為黃金雙曲線．如圖，是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，是虛軸的頂點(diǎn)，是左右焦點(diǎn)，在雙曲線上且過右焦點(diǎn)，并且軸，給出以下幾個(gè)說法：

①雙曲線x2－＝1是黃金雙曲線；
②若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③如圖，若∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確的是(　　)

A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓過點(diǎn)P(1, )，其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線x＝4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2，
點(diǎn)（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)點(diǎn)P是圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，由點(diǎn)P向x軸作垂線PP0，垂足為P0，且＝.
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx＋m(m≠0)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B.
若直線OA，AB，OB的斜率成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于E、G兩點(diǎn)，且△EGF2的周長為4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＋＝t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)|－|＜時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知△OFQ的面積為S，且·＝1.設(shè)||＝c(c≥2)，S＝c.若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)||取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案