Question

（2013•閔行區二模）過坐標原點O作傾斜角為60°的直線交拋物線Γ：y²=x于P₁點，過P₁點作傾斜角為120°的直線交x軸于Q₁點，交Γ于P₂點；過P₂點作傾斜角為60°的直線交x軸于Q₂點，交Γ于P₃點；過P₃點作傾斜角為120°的直線，交x軸于Q₃點，交Γ于P₄點；如此下去…．又設線段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的長分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，數列{a_n}的前n項的和為S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，S_n；
（3）設bn=aan(a＞0且a≠1)，數列{b_n}的前n項和為T_n，若正整數p，q，r，s成等差數列，且p＜q＜r＜s，試比較T_p•T_s與T_q•T_r的大小．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質，算出點P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)，代入拋物線求得a1=

2

3

，同樣的方法可算出a2=

4

3

；
（2）由點Q_n-1（S_n-1，0）建立直線Q_n-1P_n的方程，與拋物線方程消去x得關于|y|的方程，解出|y|關于S_n的表示式，根據等邊三角形性質和三角函數定義加以計算，化簡整理得3

a

2 n

-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn，將兩式作差整理可得an+1-an=

2

3

，從而得到{a_n}是以

2

3

為首項、

2

3

為公差的等差數列，再用等差數列通項與求和公式可得a_n、S_n的表達式；
（3）由（2）得{b_n}是公比q0=a

2

3

≠1、首項b1=a

2

3

=q0的正項等比數列．因此根據等比數列的求和公式，將T_p•T_s與T_q•T_r作差，結合正整數p，q，r，s成等差數列且p＜q＜r＜s，化簡整理可得T_p•T_s-T_q•T_r=-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)，
討論所得結果的可得T_p•T_s-T_q•T_r＜0，可得必定有T_p•T_s＜T_q•T_r對任意成等差數列的正整數p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本題答案．

解答：解：（1）如圖，由△OQ₁P₁是邊長為a₁的等邊三角形，得點P₁的坐標為(

a1

2

，

3 a1

2

)，
又∵P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)在拋物線y²=x上，
∴

3 a 2 1

4

=

a1

2

，得a1=

2

3

…（2分）
同理根據P₂(

2

3

+

a2

2

，-

3 a2

2

)在拋物線y²=x上，可得a2=

4

3

…（4分）
（2）如圖，因為點Q_n-1的坐標為（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，0），即點（S_n-1，0）（點Q₀與原點重合，S₀=0），
所以直線Q_n-1P_n的方程為y=

3

(x-Sn-1)或y=-

3

(x-Sn-1)，
因此，點P_n的坐標滿足

y2=x |y|= 3 (x-Sn-1)

消去x得

3

y2-|y|-

3

Sn-1=0，所以|y|=

1+ 1+12Sn-1

2 3

…（7分）
又|y|=an•sin60°=

3

2

an，故3an=1+

1+12Sn-1

從而3

a

2 n

-2an=4Sn-1…①
由①有3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn…②
②-①得3(

a

2 n+1

-

a

2 n

)-2(an+1-an)=4an
即（a_n+1+a_n）（3a_n+1-3a_n-2）=0，又a_n＞0，于是an+1-an=

2

3

所以{a_n}是以

2

3

為首項、

2

3

為公差的等差數列，an=a1+(n-1)d=

2

3

n
由此可得：Sn=

(a1+an)n

2

=

1

3

n(n+1)…（10分）
（3）∵

bn+1

bn

=

a 2(n+1) 3

a 2n 3

=a

2

3

，
∴數列{b_n}是正項等比數列，且公比q0=a

2

3

≠1，首項b1=a

2

3

=q0，
∵正整數p，q，r，s成等差數列，且p＜q＜r＜s，設其公差為d，則d為正整數，
∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
則Tp=

b1(1- q p 0 )

1-q0

，Tq=

b1(1- q p+d 0 )

1-q0

，Tr=

b1(1- q p+2d 0 )

1-q0

，Ts=

b1(1- q p+3d 0 )

1-q0

…（12分）
T_p•T_s-T_q•T_r=

b 2 1

(1-q0)2

•[(1-

q

p 0

)(1-

q

p+3d 0

)-(1-

q

p+d 0

)(1-

q

p+2d 0

)]=

b 2 1

(1-q0)2

•[(

q

p+d 0

+

q

p+2d 0

)-(

q

p 0

+

q

p+3d 0

)]…（14分）
而(

q

p+d 0

+

q

p+2d 0

)-(

q

p 0

+

q

p+3d 0

)=

q

p 0

(

q

d 0

-1)-

q

p+2d 0

(

q

d 0

-1)
=(

q

d 0

-1)(

q

p 0

-

q

p+2d 0

)=(

q

d 0

-1)

q

p 0

(1-

q

2d 0

)=-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)…（16分）
由于a＞0且a≠1，可得q0=a

2

3

＞0且q0≠1，
又∵d為正整數，∴(

q

d 0

-1)與(

q

2d 0

-1)同號，
因此，-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)＜0，可得T_p•T_s＜T_q•T_r． 
綜上所述，可得若正整數p，q，r，s成等差數列，且p＜q＜r＜s，必定有T_p•T_s＜T_q•T_r．…（18分）

點評：本題給出拋物線中的等邊三角形，求按圖中作出的等邊三角形Q_n-1Q_nP_n的邊長a_n的表達式，并設bn=aan，數列{b_n}的前n項和為T_n，在成等差數列的正整數p、q、r、s滿足且p＜q＜r＜s的情況下討論T_p•T_s與T_q•T_r的大小關系．著重考查了拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系、不等式的性質和等差等比數列的通項與求和公式等知識，屬于難題．