Question

已知曲線：.

（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；

（2）設，過點的直線與曲線交于,兩點，為坐標原點，若為直角三角形，求直線的斜率．

 

Answer 1

（1）；（2）的值為和.

【解析】

試題分析：（1）曲線是焦點在軸上的橢圓，則求解不等式組即可得到參數的取值范圍；（2）設的方程為（注意檢驗斜率不存在的情況是否符合要求），再設出兩點的坐標，在為直角三角形時，應該分類討論，因為沒有明確哪個角為直角，當時，有即即，聯立該直線與橢圓的方程，得到根與系數的關系，代入即可求出的取值；當或時，這兩種情況是類似的，不妨取，由即與聯立可求解出點的坐標，然后再代入直線方程，即可求出的值.

試題解析：（1）若曲線：是焦點在軸上的橢圓，則有

解得 2分

（2）時，曲線的方程為，為橢圓，

由題意知，點的直線的斜率存在，所以設的方程為

由消去得 4分

當時，解得

設兩點的坐標分別為

（ⅰ）當為直角時

則

因為為直角，所以，即

所以

所以，解得 6分

（ⅱ）當或為直角時，不妨設為直角

此時，，所以，即①

又②

將①代入②，消去得，解得或（舍去）

將代入①，得

所以 8分

經檢驗，所求值均符合題意，綜上，的值為和 9分.

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.兩直線垂直的條件.