Question

已知定點A(－2,0)和B(2,0)，曲線E上任一點P滿足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲線E的方程；

（2）延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得從PQ的中點R向l作垂線，垂足為C，滿足PC⊥QC，求a的取值范圍。

 

Answer 1

（1）x2－＝1(x＞0) ；（2）|PQ|min＝6;(3) a≤－1.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知P點軌跡為雙曲線，由a，c求出b的值，則方程可求；

（2）當直線斜率存在時，設出直線方程，和雙曲線方程聯立后求得判別式大于0，再由兩根之和大于0，且兩根之積大于0聯立求得k的范圍由弦長公式寫出弦長，借助于k的范圍求弦長的范圍，當斜率不存在時直接求解；

（3）由題意，|CR|＝|PQ|。若直線PQ不垂直于x軸，由|CR|＝－a＝－a

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1，若直線PQ垂直于x軸，這時|PQ|＝6，|CR|＝2－a ∴a＝－1， 綜上a≤－1.

試題解析：【解析】
（1）由雙曲線的定義得：曲線E是以A， B為焦點的雙曲線的右支，所以曲線E的方程為：x2－＝1(x＞0) 2分

（2）若直線PQ不垂直于x軸，設直線PQ的方程為：y＝k(x－2)

由，得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 3分

設p(x1，y1)，Q(x2，y2)，這里x1＞0，x2＞0

則： 得：k2＞3 6分

|PQ|＝|x1－x2|＝＝6＋＞6 6分

若直線PQ垂直于x軸，則直線PQ的方程為x＝2。 8分

這時P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，

綜上：|PQ|min＝6 9分

（3）據題意得：|CR|＝|PQ|。若直線PQ不垂直于x軸，

由|CR|＝－a＝－a 10分

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1 12分

若直線PQ垂直于x軸，這時|PQ|＝6，|CR|＝2－a

∴a＝－1. 13分

綜上a≤－1. 14分

考點：直線與圓錐曲線的關系．