Question

已知函數y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函數的定義域；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為函數y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點，若a＞1，求證：直線AB的斜率大于0．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1，故a^x＞a⁰．由此能求出此函數的定義域．
（2）由A，B為為函數y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點，設A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))，故直線AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

，由此能夠證明直線AB的斜率大于零．

解答：（1）解：由a^x-1＞0，
得a^x＞1，
∴a^x＞a⁰…（1分）
當0＜a＜1時，x＜0…（2分）
當a＞1時，x＞0…（3分）
∴0＜a＜1時，函數的定義域為（-∞，0）；
a＞1時函數的定義域為（0，+∞）…．（5分）
（2）證明：∵A，B為函數y=loga(ax-1)圖象上任意不同的兩點，
∴可設A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))…（6分）
∴直線AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

…（8分）
∵A，B為圖象上任意不同的兩點，
不妨設x₁＞x₂…（9分）
∵a＞1，
∴ax1＞ax2，
∴ax1-1＞ax2-1，
∴loga(ax1-1)＞loga(ax2-1)…（11分）
∴kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

＞0，
即直線AB的斜率大于零…（12分）

點評：本題考查對數函數的定義域和直線斜率的知識，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．