Question

若函數f（x）是偶函數，當x≥0時，f（x）=1-|x-1|，滿足f[f(a)]=

1

2

的實數a的個數為

8

個．

Answer 1

分析：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

，轉化為f（x）=

1

2

．先解f（x）=

1

2

在x≥0時的解，再利用偶函數的性質，求出f（x）=

1

2

在x＜0時的解，最后解方程f（a）=x即可．

解答：解：令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

，變形為f（x）=

1

2

；
當x≥0時，f（x）=1-|x-1|=

1

2

，解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

；
∵f（x）為偶函數，
∴當x＜0時，f（x）=

1

2

的解為x₃=-

1

2

，x₄=-

3

2

；
綜上所述，f（a）=

1

2

或

3

2

或-

1

2

或-

3

2

．
當a≥0時，
f（a）=1-|a-1|=

1

2

，方程有2解；
f（a）=1-|a-1|=

3

2

，方程無解；
f（a）=1-|a-1|=-

1

2

，方程有1解；
f（a）=1-|a-1|=-

3

2

，方程有1解；
故當a≥0時，方程f（a）=x有4解，
由偶函數的性質，易得當a＜0時，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=的實數a的個數為8，
故答案為：8．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性和方程的解的個數問題，同時運用了函數與方程思想、轉化思想和分類討論等數學思想方法，對學生綜合運用知識解決問題的能力要求較高，是高考的熱點問題．