Question

已知，，數列滿足，
，．
（I）求證：數列是等比數列；
（II）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（I）證明見答案（II）

（I）∵，，，
∴．
即．
又若a_n≠1，則a_n+1≠1，事實上當a_n≠1時，由知，若a_n+1=1，則a_n=1，從而與a_n≠1矛盾，故a_n+1≠1．
由此及≠1可知a_n≠1對任意n∈N都成立．
故對任何，，
所以．
∵，
∴是以為首項，為公比的等比數列.
（II）由，得 
依題意（*）式對任意恒成立，
①當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不符合題意．
　　　　　②當t<0時，由，可知（）．
　而當m是偶數時，因此t<0不符合題意．
　　　　　③當t>0時，由（）,
∴ ，∴．（）
　　　　　　設 （），
　　　　　　∵ =,
　　　　　　∴．
　　　　　　∴的最大值為．
　　　　　　所以實數的取值范圍是．