Question

已知常數、、都是實數，函數的導函數為，的解集為．
（Ⅰ）若的極大值等于，求的極小值；
（Ⅱ）設不等式的解集為集合，當時，函數只有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，函數在上只有一個零點.

試題分析：：1.第（Ⅰ）的解答還是要破費周折的.首先要求出導函數.
然后根據的解集為，通過解混合組,得到進而得到.接下來通過研究函數的單調性，由的極大值等于，可解得，這樣就可以求出的極小值.2.第（Ⅱ）問先由不等式的解集為集合，可以解得.然后研究的單調性，值得注意的是，換句話說方程兩邊對求導數，、應看作是常數.單調性弄清楚后，還要比較、的大小.然后根據只有一個零點，列出或，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了.
試題解析：（Ⅰ）∵，∴.
∵不等式的解集為，
∴不等式的解集為.
∴即 
∴，.
∴當或時，，即為單調遞減函數；
當時，，即為單調遞增函數.
∴當時，取得極大值，當時，取得極小值.
由已知得，解得.
∴.
∴的極小值.
（Ⅱ）∵，，，
∴，解得，即.
∵，∴.
∴當或時，，即為單調遞減函數；
當時，，即為單調遞增函數.
∴當時，為單調遞減函數；
當時，為單調遞增函數.
∵，
，，
∴.
∴在上只有一個零點或.
由得；
由，即，得.
∴實數的取值范圍為或.
∴當或時，函數在上只有一個零點.