Question

（2013•懷化二模）某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示．

組號	分組	頻數	頻率
第一組	[160，165）	5	0.05
第二組	[165，170）	35	0.35
第三組	[170，175）	30	a
第四組	[175，180）	b	0.2
第五組	[180，185）	10	0.1

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）為了能選出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進入第二輪的面試；考生李翔的筆試成績為178分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，學校決定在12人中隨機抽取3人接受“王教授”的面試，設第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）利用5組頻率總和為1，即可求出第3組頻率；利用總的頻數為100，即可得出b．
（II）第3、4、5組共60名學生，現抽取12人，因此第3組抽取的人數為：

30

60

×12人，第4組抽取的人數為：

20

60

×12人，第5組抽取的人數為：

10

60

×12人．公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取100人，每個人被抽到的概率是相同的．
（III）ξ的可能取值為0、1、2、3．利用超幾何分步計算公式P（ξ=k）=

C 3-k 8 C k 4

C 3 12

即可得出分布列，進而得到數學期望．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，5組頻率總和為1，故第3組頻率=1-（0.05+0.35+0.2+0.1）=0.3，
所以a=0.3．
總的頻數為100，因此第4組的頻數=100-（5+35+30+10）=20，即b=20．
（Ⅱ）第3、4、5組共60名學生，現抽取12人，
因此第3組抽取的人數為：

30

60

×12=6人，第4組抽取的人數為：

20

60

×12=4人，第5組抽取的人數為：

10

60

×12=2人．
公平：因為從所有的參加自主考試的考生中隨機抽取100人，
每個人被抽到的概率是相同的．
（Ⅲ）ξ的可能取值為0、1、2、3．
P(ξ=0)=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P(ξ=1)=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

，
P(ξ=2)=

C 1 8 C 2 4

C 3 12

=

12

55

，
P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

．
ξ的分布列為：


∴Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．

點評：熟練掌握頻率與頻數的性質、分層抽樣的計算公式、隨機抽樣的性質、超幾何分步計算公式、分布列、數學期望是解題的關鍵．