Question

（本題滿分10分） 如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上辟一個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝（>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，

設(shè)AE＝，綠地面積為.

（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，綠地面積最大？

 

Answer 1

【答案】

（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）

∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x

∴y＝－2x²＋（＋2）x，0<x≤2

（2）當(dāng)，即<6時(shí)，則x＝時(shí)，y取最大值

當(dāng)≥2，即≥6時(shí)，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函數(shù)，

  則x＝2時(shí)，y取最大值2－4

綜上所述：當(dāng)<6時(shí)，AE＝時(shí)，綠地面積取最大值

當(dāng)≥6時(shí)，AE＝2時(shí)，綠地面積取最大值2－4

【解析】本題主要考查實(shí)際問題中的建模和解模能力，注意二次函數(shù)求最值的方法．

（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）由（1）知y是關(guān)于x的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法求解．

（1）S_ΔAEH＝S_ΔCFG＝x²， S_ΔBEF＝S_ΔDGH＝（－x）（2－x）

∴y＝S_ABCD－2S_ΔAEH－2S_ΔBEF＝2－x²－（－x）（2－x）＝－2x²＋（＋2）x

∴y＝－2x²＋（＋2）x，0<x≤2

（2）當(dāng)，即<6時(shí)，則x＝時(shí)，y取最大值

當(dāng)≥2，即≥6時(shí)，y＝－2x²＋（＋2）x，在0，2]上是增函數(shù)，

  則x＝2時(shí)，y取最大值2－4

綜上所述：當(dāng)<6時(shí)，AE＝時(shí)，綠地面積取最大值

當(dāng)≥6時(shí)，AE＝2時(shí)，綠地面積取最大值2－4