Question

（2012•深圳二模）線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，離心率為

5

的雙曲線C₂以A，B為焦點．若P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，則|PA|+|PB|=（　　）

• A．2

  2

• B．4

  2

• C．4

  3

• D．6

  2

Answer 1

分析：由題設知雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，雙曲線的實半軸a=

2

，由P是圓C₁與雙曲線C₂的公共點，知||PA|-|PB||=2

2

，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．

解答：解：∵圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的半徑r=

1

2

4+36

=

10

，
線段AB是圓C₁：x²+y²+2x-6y=0的一條直徑，
離心率為

5

的雙曲線C₂以A，B為焦點，
∴雙曲線C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，
∵P是圓C₁與雙曲線C₂的一個公共點，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=

10

，e=

c

a

=

5

，
∴a=

2

，
∴2|PA||PB|=32，
∴∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6

2

．
故選D．

點評：本題考查|PA|+|PB|的值的求法，具體涉及到圓的簡單性質，雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．