Question

設a=（cos（x-）,sin（x-））,b=（,-）.

(1)設f(x)=a·b，試在如圖的坐標系中畫出函數y=f(x)在［π，π］上的簡圖；

(2)設方程f(x)=a在［0，π］上的三正根依次成等比數列，試求實數a的值.

Answer 1

解析：（1）a·b=cos(x-)-sin(x-)=coscos(x-)-sinsin(x-)

=cos（+x-）=cos（x+）,∴f(x)=cos（x+）.

x	-π	-		π	π	π	π	π
f(x)	0	1	0	-1	0	1	0	-1

(2)方程f(x)=a的根即為y=f(x)的圖象與直線y=a交點的橫坐標，如（1）簡圖，設三根分別為0＜x₁＜x₂＜x₃，則A（x₁,a），B（x₂,a）兩點關于直線x=π對稱，

    故x₁+x₂=π.而x₃-x₁=2π,∴x₂=π-x₁,x₃=2π+x₁.

    由x²₂=x₁x₃得(π-x₁)²=x₁(2π+x₁),解得x₁=π,

∴a=f(x₁)=cos(x₁+)=cosπ.