Question

已知函數.（Ⅰ）分別求函數和的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）證明不等式；（Ⅲ）對一個實數集合,若存在實數,使得中任何數都不超過,則稱是的一個上界.已知是無窮數列所有項組成的集合的上界（其中是自然對數的底數）,求實數的最大值.

Answer 1

【解析】：（Ⅰ）,則,且

,所以函數和的圖象在處的切線方程都是……3分

（Ⅱ）令函數,定義域是，

,

設,則,

令,則,

當時,,在上為增函數,

,設,則

………10分

由（Ⅱ）知，,即,

所以,于是在上為減函數.

故函數在上的最小值為,所以的最大值為………13分