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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
精英家教網如圖，在空間四邊形SABC中，AC、BS為其對角線，O為△ABC的重心，
試證：（1）
OA
+
OB
+
OC
=
0
；
（2）
SO
=
1
3
(
SA
+
SB
+
SC
)．
分析：（1）由O是△ABC的重心，表示出
OA
、
OB
與
OC
，求和即可．
（2）分別用
SA
、
AO
，
SB
、
BO
，
SC
、
CO
表示出
SO
，求和即得結論．
解答：證明：（1）∵O為△ABC的重心，
∴
OA
=-
1
3
（
AB
+
AC
），①
OB
=-
1
3
（
BA
+
BC
），②
OC
=-
1
3
（
CA
+
CB
），③
∴①+②+③得：
OA
+
OB
+
OC
=-
1
3
（
AB
+
AC
）-
1
3
（
BA
+
BC
）-
1
3
（
CA
+
CB
）=
0
．
（2）∵
SO
=
SA
+
AO
，④
SO
=
SB
+
BO
，⑤
SO
=
SC
+
CO
，⑥
且由（1）得：
AO
+
BO
+
CO
=
0
．
∴④+⑤+⑥得：3
SO
=（
SA
+
AO
）+（
SB
+
BO
）+（
SC
+
CO
）=
SA
+
SB
+
SC
，
即SO=
1
3
（
SA
+
SB
+
SC
）．
點評：本題考查了空間向量的基本運算問題，是基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖：在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點．
（1）求證：平面ABE⊥平面BCD；
（2）若F是AB的中點，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在空間四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，AD上的點，若
AM
MB
=
AN
ND
，P為線段CD上的一點（P與D不重合），過M，N，P的平面交平面BCD于Q，求證：BD∥PQ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（文科做）已知：如圖，在空間四邊形ABCD中，AB⊥CD且AC⊥BD，求證：AD⊥BC．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在空間四邊形OABC中，已知E是線段BC的中點，G為AE的中點，若
OA
，
OB
，
OC
分別記為
a
，
b
，
c
，則用
a
，
b
，
c
表示
OG
的結果為
OG
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的長；
（2）若AD=BC=2a，EF=
3
a，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

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