Question

已知點(

2

 ，2  )在冪函數f（x）的圖象上，點(-2 ，  

1

4

)在冪函數g（x）的圖象上．
（1）求函數f（x），g（x）的解析式；
（2）判斷函數g（x）的單調性并用定義證明；
（3）問x為何值時有f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x），g（x）的解析式，由于已知兩函數是冪函數，故可用待定系數法設出兩函數的解析式，代入點的坐標求出函數的解析式．
（2）由定義進行證明即可；
由于兩個函數在第一象限一個是減函數一個是增函數，故可令兩者相等，解出它們的交點坐標，再由函數的單調性得出f（x）≤g（x）的解集，由于兩函數都是偶函數，可由對稱性得出函數在（-∞，0）上的解集，取兩者的并集即得不等式f（x）≤g（x）的解集，即得所求的x的取值范圍．

解答：解：（1）由題易得f（x）=x² ，g（x）=x^-2
（2）g（x）在（0，+∞）上為減函數，在（-∞，0）上為增函數
證明：任取x₁＜x₂＜0，有g(x1)-g(x2)=

(x1+x2)(x2-x1)

x 2 1 x 2 2

∵x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上為增函數．
任取0＜x₁＜x₂，有g(x1)-g(x2)=

(x2+x1)(x2-x1)

x 2 1

∵x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，+∞）上是減函數．
（3）當x＞1或x＜1時，f（x）≤g（x），證明如下
由（1），兩函數都是偶函數，先研究x＞0時滿足f（x）≤g（x）的x的取值范圍．
令x² =x^-2，解得x=1，又f（x）=x² 在（0，+∞）上是增函數，g（x）=x^-2在（0，+∞）上是減函數，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范圍是x≤1
由兩函數的解析式知，此兩函數都是偶函數，故當x＜0時，f（x）≤g（x）的x的取值范圍是x≥-1
綜上當-1≤x≤1時，f（x）≤g（x）

點評：本題考查冪函數單調性、奇偶性及其應用，解題的關鍵是熟練掌握冪函數的性質，且能根據其性質進行運算，本題考查到了函數的單調性的證明方法定義法，要注意證明的步驟