Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：的離心率，A₁，A₂分別是橢圓E的左、右兩個頂點，圓A₂的半徑為a，過點A₁作圓A₂的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓E于點Q．
（1）求直線OP的方程；
（2）求的值；
（3）設a為常數，過點O作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點B、C，分別交圓A點M、N，記三角形OBC和三角形OMN的面積分別為S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結A₂P，則A₂P⊥A₁P，且A₂P=a，根據已知條件可判斷△OPA₂為正三角形，從而可得OP斜率、直線OP方程；
（2）由（1）可得直線A₂P的方程和A₁P的方程，聯立兩方程可得P點橫坐標，由離心率可化簡橢圓方程，聯立A₁P的方程與橢圓方程可得Q點橫坐標，而=，把各點橫坐標代入上式即可求得比值；
（3）設OM的方程為y=kx（k＞0），代入橢圓方程可得B點坐標，由兩點間距離公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根據三角形面積公式可表示出S₁•S₂，變形后用基本不等式可其最大值；
解答：解：（1）連結A₂P，則A₂P⊥A₁P，且A₂P=a，
又A₁A₂=2a，所以∠A₁A₂P=60°．
又A₂P=A₂O，所以△OPA₂為正三角形，
所以∠POA₂=60°，
所以直線OP的方程為．
（2）由（1）知，直線A₂P的方程為①，A₁P的方程為②，
聯立①②解得．
因為，即，所以，，
故橢圓E的方程為．
由解得，
所以==． 
（3）不妨設OM的方程為y=kx（k＞0），
聯立方程組解得，
所以；
用代替上面的k，得．
同理可得，，．
所以．
因為，
當且僅當k=1時等號成立，
所以S₁•S₂的最大值為．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、直線方程及圓的方程，考查學生的運算能力，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，能力要求較高．