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求函數y=
2x+12x-1
（x≥1且x≠0）的反函數以及反函數的定義域．
分析：將y=
2x+1
2x-1
作為方程利用指數式和對數式的互化解出x，然后確定原函數的值域即得反函數的值域，問題得解．
解答：解：由y=
2x+1
2x-1
得2x=
y+1
y-1
，
∴x=log2
y+1
y-1
且y＞-1
即函數y=
2x+1
2x-1
（x≥1且x≠0）的反函數：y=log2
x+1
x-1
．
∵x≥1且x≠0，∴2x≥2，∴
y+1
y-1
≥2，∴1＜y≤3，
∴反函數的定義域為（1，3]．
點評：本題屬于基礎性題，思路清晰、難度小，但解題中要特別注意指數式與對數式的互化，這是一個易錯點，另外原函數的值域的確定也是一個難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設0≤x≤2，求函數y=4x-
1
2
-a•2x+
a2
2
+1的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設0≤x≤2，求函數y=4x-
12
-2x+1+5的最大值和最小值，并指出相應x的取值？

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）的定義域為（0，+∞），并滿足以下條件：
①對任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1時，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
（3）若x滿足f(
1
2
)≤f(x)≤f(2)，求函數y=2x+
1
x
的最大、最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求解下列問題
（1）求函數y=
sinx-
1
2
+lg(cosx+
1
2
)的定義域；
（2）求f（x）=sin（
π
3
-2x）的單調增區間；
（3）函數f（x）=
k-2x
1+k•2x
為奇函數，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
證明：構造函數f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
（其中等號成立當且僅當a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數a，b，x，y，不等式
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
成立．
（2）用（1）中的不等式求函數y=
2
x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構造函數的方法對你的推廣進行證明．

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