Question

（文）已知右焦點為F的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，其右準線與經過第一象限的漸近線交于點P，且P的縱坐標為

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線的方程； 
（Ⅱ）求直線PF被拋物線y²=8x截得的線段長．

Answer 1

分析：（I）由題意可知，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1得右準線方程為x=

a2

c

，經過第一象限的雙曲線的漸近線方程y=

b

a

x可求P的縱坐標，則可得a，b，c之間的關系，由離心率可求，a，c的關系，進而可求，a，b及雙曲線的方程
（II）題意可設PF所在的直線方程為y=-

3

(x-2)，與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與拋物線方程，根據方程的根與系數關系可求x1+x2=

20

3

，利用AB=x₁+x₂=p可求

解答：解：（I）由題意可知，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1得右準線方程為x=

a2

c

（1分）
經過第一象限的雙曲線的漸近線方程y=

b

a

x（1分）
聯立

x= a2 c y= b a x

可得點P（

a2

c

，

ab

c

）（1分）
∵點P的縱坐標為y=

3

2

∴

ab

c

=

3

2

∵e=

c

a

=

2 3

3

∴a=

3

，b=1（2分）
∴所求的雙曲線的標準方程為

x2

3

-y2=1（1分）
（II）由（I）知P（

3

2

，

3

2

），雙曲線的焦點的坐標F（2，0）
而F（2，0）也是拋物線y²=8x的焦點，設PF所在的直線方程為y=-

3

(x-2)
與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（1分）
聯立

y=- 3 (x-2) y2=8x

可得，3x²-20x+12=0（1分）
∴x1+x2=

20

3

（1分）
∴AB=x₁+x₂=p=

32

3

（1分）
∴直線PF被拋物線截得的線段長

32

3

（1分）

點評：本題主要考查了利用雙曲線的性質求解雙曲線的方程，直線與拋物線的相交關系的應用，拋物線的焦點弦公式的應用．