Question

設等差數列{a_n}滿足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數列中的一項．若a₁=3⁵，則d的所有可能取值之和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出數列的通項公式，求出數列{a_n}中任意兩項之和，根據數列{a_n}中任意兩項之和仍是該數列中的一項求出d=，再結合k，m，n，d∈N^*，即可求出d的所有可能取值進而求出結論．
解答：解：設等差數列的公差為d，若a₁=3⁵，=243，則a_n=243+（n-1）d．
所以數列{a_n}中任意兩項之和a_m+a_n=243+（m-1）d+243+（n-1）d=486+（m+n-2）d．
設任意一項為a_k=243+（k-1）d．
則由a_m+a_n=a_k 可得 243+（m+n-k-1）d=0，化簡可得 d=．
再由k，m，n，d∈N^*，可得 k+1-m-n=1，3，9，27，81，243，
∴d=243，81，27，9，3，1，
則d的所有可能取值之和為 364，
故答案為 364．
點評：本題主要考查等差數列的性質．解決問題的關鍵在于利用數列{a_n}中任意兩項之和仍是該數列中的一項求出d=，屬于中檔題．