Question

(本小題滿分16分) [已知數列滿足
,.
(1)求數列的通項公式；
(2)若對每一個正整數,若將按從小到大的順序排列后,此三項均能構成等
差數列, 且公差為.①求的值及對應的數列．
②記為數列的前項和，問是否存在,使得對任意正整數恒成立?若存
在,求出的最大值；若不存在,請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)因為,所以時, ,兩式相減,得,故數列從第二項起是公比為的等比數列…………………………3分
又當n=1時,,解得,從而………5分
(2)①由(1)得,
[1]若為等差中項,則,即或,解得………6分
此時,所以……8分
[2]若為等差中項,則,即,此時無解   ………9分
[3]若為等差中項,則,即或,解得,此時,所以………11分
綜上所述,, 或,……………12分
②[1]當時,,則由,得,
當時, ,所以必定有,所以不存在這樣的最大正整數……14分
[2]當時,,則由,得,因為,所以滿足恒成立；但當時,存在,使得即,所以此時滿足題意的最大正整數  …………16分

略