Question

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．

(1)求證://平面；
(2)求與平面BDE所成角的余弦值；
(3)線段PC上是否存在一點M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）詳見解析；（2）cosCBN= ；（3）不存在點M滿足題意.

解析試題分析：（1）證明BE∥平面PAD，只需證明AF∥BE；
（2）過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN，證明∠CBN就是直線BC與平面BDE所成角，從而可求BC與平面BDE所成角的余弦值；
（3）假設PC上存在點M，使得AM⊥平面PBD，則AM⊥PD，可得點M與E重合．取CD中點G，連接EG，AG，則BD⊥AG，證明PD⊥平面BCD，從而PD⊥AD，這與△PAD是等邊三角形矛盾．
試題解析：(1)取PD中點F，連接AF, EF

則,
又，
∴
∴
∴四邊形ABEF是平行四邊形               2分
∴AF∥BE  又平面PAD，平面PAD
∴//平面                                     4分
（2）過C作DE的垂線，交DE的延長線于N，連接BN
∵平面底面，
∴平面
∴AF  又AF⊥PD，
∴AF⊥平面PCD
∴BE⊥平面PCD
∴BE⊥CN，又CN⊥DE，
∴CN⊥平面BDE
∴CBN就是直線與平面BDE所成角               7分
令AD=1，,易求得，
∴sinCBN=
∴cosCBN= 
故與平面BDE所成角的余弦值為                        9分
（3）假設PC上存在點M，使得AM⊥平面PBD 則AM⊥PD,由（2）AF⊥PD
∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF
故點M與E重合。                  1分
取CD中點G，連接EG,AG
易證BD⊥AG，又BD⊥AE
∴BD⊥平面AEG
∴BD⊥EG
∴BD⊥PD,又PD⊥CD
∴PD⊥平面BCD
從而PD⊥AD,這與⊿PAD是等邊三角形矛盾
（另解坐標法）
證明：取AD中點O，連接PO∵側面PAD是等邊三角形 ∴PO⊥AD
又∵平面底面， ∴PO⊥平面ABCD             2分
設，如圖建立空間坐標系，則

，,
，.          3分
（1），，
所以，
∵平面，∴平面.                     5分
（2），
設平面的一個法向量為
則   求得平面的一個法向量為；    7分
，                         8分
所以直線與平面所成角的余弦值為。   10分
（3）設存在點M(滿足AM⊥平面PBD，則M、P、C三點共線
因為，所以存在實數，使得
即                  11分
∵AM⊥平面PBD  ∴      得（不合題意）
故在線段上不存在點M滿足題意。                               14分
考點：(1)空間的位置關系的證明；（2）線面角的求法；（3）向量在立體幾何中的應用.